LICENCE 1 MATHEMATIQUES

Objectifs pédagogiques. Introduire les notions de base de la logique mathématique et de la théorie des ensembles. Introduire des structures mathématiques (groupe, anneau) et leur propriétés, à travers des cas classiques (groupe des permutations et des restes modulo n, anneaux des entiers et des polynômes, corps de nombres réels, espaces vectoriels réels). Le cours traitera beaucoup d’exemples.

Programme. Langage du calcul propositionnel (négation, connecteurs logiques, quantificateurs) et de la théorie naïve des ensembles (inclusion, intersection, réunion, complémentaire, produit, applications, injectivité, surjectivité, bijectivité, relations d'équivalence et d'ordre).

Groupe des permutations (cardinalité, ordre d'un élément, transposition, cycle, parties génératrices, signature) et groupe des restes modulo n (structure, congruence, ordre d'un élément, groupe, sous-groupe).
Anneau des entiers (division euclidienne, divisibilité, éléments irréductibles, décomposition en facteurs premiers, ppcm, pgcd et algorithme d'Euclide). Anneau des polynômes à coefficients réels ou complexes (racines et multiplicité, division euclidienne, divisibilité, décomposition en polynômes irréductibles, ppcm, pgcd et algorithme d'Euclide, théorème de Bézout).
Anneau des restes modulo n (inversibilité, lemme chinois, exemples simples d'équations diophantiennes).

Corps des nombres réels. Partie entière, densité des rationnels et irrationnels.

Suites de nombres réels et complexes (monotonie, arithmétique, géométrique, somme des premiers termes). Bornes supérieure et inférieure, limites supérieure et inférieure. Caractérisation des limites de suites. Critère de Cauchy, théorème de Bolzano-Weierstrass.

Prérequis : Spécialité maths.

Compétences attendues. Etre capable de comprendre et rédiger des énonces mathématiques. Pouvoir effectuer une division euclidienne sur les polynômes. Savoir calculer le pgcd/ppcm de deux nombres et deux polynômes. Savoir déterminer si une famille de vecteurs réels est libre et savoir compléter une famille libre en une base.